Taylor Reihen ❡
Das is alles von ChatGPT nur für mich zur Notiz
Hier sind die klassischen Taylor-/Potenzreihen einmal schön gesetzt — plus ein paar „nice to know“-Reihen, die in Mathematik, Physik, geometrischer Algebra und auch abstrakteren Bereichen ständig auftauchen.
Die großen Klassiker ❡
Exponentialfunktion ❡
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots
sin(x) ❡
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\sum_{n=0}^{\infty}
(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots
cos(x) ❡
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\sum_{n=0}^{\infty}
(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots
Natürlicher Logarithmus ❡
Für (|x|<1):
\ln(1+x)
\sum_{n=1}^{\infty}
(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}
x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}
Euler-Magie ❡
Die wahrscheinlich schönste Formel der Mathematik:
e^{ix}
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\cos(x)+i\sin(x)
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
Setzt man (x=\pi):
e^{i\pi}+1=0
Die komplette mathematische Avengers-Lineup in einer Gleichung:
0,1,e,i,\pi
Hyperbolische Funktionen ❡
Extrem wichtig in geometrischer Algebra, Relativität, Clifford-Algebra usw.
Sinh ❡
\sinh(x)
\frac{e^x-e^{-x}}{2}
x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots
Cosh ❡
\cosh(x)
\frac{e^x+e^{-x}}{2}
1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots
Und die Identität:
\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1
Das ist die „hyperbolische Version“ von
\cos^2(x)+\sin^2(x)=1
und steckt tief in Lorentz-Transformationen.
Geometrische Reihe ❡
Die Mutter aller Potenzreihen:
\frac{1}{1-x}
\sum_{n=0}^{\infty}x^n
1+x+x^2+x^3+\cdots
für (|x|<1).
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n
Daraus bekommt man fast alles durch Ableiten/Integration.
Binomialreihe ❡
Unglaublich wichtig:
(1+x)^\alpha
\sum_{n=0}^{\infty}
\binom{\alpha}{n}x^n
mit
\binom{\alpha}{n}
\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
Spezialfall:
\sqrt{1+x}
1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\cdots
Arctan und (\pi) ❡
\arctan(x)
\sum_{n=0}^{\infty}
(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
Setzt man (x=1):
\frac{\pi}{4}
1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots
Die berühmte Leibniz-Reihe.
Gaussian / Heat Kernel ❡
Sehr wichtig in Fourieranalysis, QM, Statistik:
e^{-x^2}
1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots
Der ganze Kosmos der Wahrscheinlichkeitsrechnung steckt da drin.
Matrix-Exponential ❡
Für geometrische Algebra absolut zentral:
e^A
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}
Damit entstehen:
- Rotationen
- Lorentz-Boosts
- Lie-Gruppen
- Spinoren
- Clifford-Exponentials
In GA wird z.B.
R=e^{-B\theta/2}
zum Rotor.
Kategorie-Theorie-Vibes 😄 ❡
Nicht direkt Taylorreihen, aber „dieselbe Seele“:
Exponentialobjekte ❡
B^A
als Objekt aller Morphismen (A\to B).
Die Analogie zu Funktionenräumen ist brutal tief.
In vielen Kategorien betrachtet man:
A[[x]]
statt analytischer Konvergenz.
Dann zählt nur noch die Algebra der Koeffizienten.
Das ist basically:
- kombinatorische Spezies
- generating functions
- λ-Kalkül-Vibes
- Funktoren mit „Taylorentwicklung“
Die GOAT-Reihe ❡
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
ist eigentlich überall.
Warum?
Weil Ableiten nichts verändert:
\frac{d}{dx}e^x=e^x
Die Funktion ist ihr eigener infinitesimaler Generator.
Darum taucht sie auf bei:
- Lie-Gruppen
- Differentialgleichungen
- Quantenmechanik
- Clifford-Algebra
- Fourieranalysis
- Category Theory via exponentials
- Heat flow
- Wahrscheinlichkeit
- Symmetrien allgemein
Und weil’s einfach schön aussieht:
e^{x}
\lim_{n\to\infty}
\left(1+\frac{x}{n}\right)^n
Das ist so eine Formel, die sich anfühlt, als hätte das Universum sie absichtlich elegant gemacht 😄